译文：臭名昭著的抛硬币
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文 / Ole Peters
译 / 元否
本文通过“抛硬币”，简单介绍了未被直觉的遍历性破坏概念。这解释了许多看似能在集体上获利的事情，却在个体上得不到收益的现象。
2011 年，我在伦敦进行了一个时长 15 分钟的演讲。我演讲的主题是遍历性破坏（ Ergodicity breaking），目标是如何将这个概念传达给普通大众。这次演讲，我试着用一个“抛硬币”的例子来解释遍历性经济学，并阐述这与其他经济学的区别。
这个抛硬币的模型叫“彼得斯硬币抛掷”。我与穆雷·格尔曼（Murray Gell-Mann）对此进行了详细的讨论，并于 2016 年发表论文。Ergodicity.tv 频道也有一个专门介绍它的视频。接下来，我会为你介绍这个概念的基本前提、重要性，以及一些总结。
想象一下，如果让你与我进行以下的赌博：你的起始资金为 100 美元。你需要抛出一枚硬币，如果正面朝上，你会赢得当前财富的 50%；而反面朝上，你会失去当前财富中的 40%。
一般到这里，我会停顿一会儿看看大家的反应，并询问有没有人愿意参与这场赌博。有的人说会，有的人则说不。当我问那些不愿意参与的人为什么时，他们的问题都集中在“这场赌博能否可以持续进行？”。
而这，就是一个遍历性问题。它像是在辩证“在不同系统上对一次波动量进行平均”，与“在单个系统随时间对波动量进行平均”是否能得到相同的数值。
但的确是不同的，这一点可以通过模拟“彼得斯硬币投掷”得到。
让我们先从“许多不同系统中的财富对一次波动量进行平均”开始。让 N 个不同的玩家加入赌局，每个玩家的初始财富都是 100 美元，并让每个玩家独立地抛掷一枚硬币。赌局结束，大约会有一半的人得到正面，而另一半的人得到反面。 当玩家数量趋近于无穷大时，即 N→∞，那么正面和反面的比例将精确地趋近于 1:1。一半的玩家会变为 150 美元，而另一半会则会变为 60 美元。在这种情况下，我们知道整体平均值将会是 (150+60)/2=105 美元。也就是说，参与这场赌局的所有玩家总体财富会是正收益。
在传统经济学上，这里的平均值会被称为“期望值”。那么，在这个赌局中，不论玩家数量多少，全部玩家的财富都会以 5%期望增长着。
看上去，似乎只要持续进行赌局，那么整体财富就会以每轮 5%的速度增长着。但实际上，这里就涉及到了遍历性破坏。
我们接着来看“随时间影响，观察单个系统的财富平均值”。对于唯一的一个玩家，当回合数（t）增长时，硬币正反面的概率又会趋近于 1:1。但区别在于，经历一次正面和一次反面结果的玩家，得到的收益结果却是违背直觉的。
比如从初始资金 100 美元开始，得到正面会使玩家的财富到达 150 美元，然后紧接着产生反面，即 40%的损失，这会使玩家的财富降到 90 美元。到这里，玩家的财富在两轮中共损失了 10%，等同于每轮损失 5%。由于每轮的财富会近似地损失 5%，随着时间的推移，当回合数无限大，即 T→∞，个体财富必将趋近于 0。这就是赌徒久赌必输的秘密。
所以，我们得出了一个有趣的结果：在不同系统上的财富单轮会增长 5%的赌局，却会在单一系统中财富随长时间影响每轮减少约 5%，直至归零。
我们将单一系统的期望结果绘制如下图。
这就是"非遍历性经济学"的典型图像。红线和绿线代表着单一系统随时间影响的期望值，而实际蓝线才是正反皆有的客观反映。
这种遍历性破坏的意义不可低估。
首先，所有的生命过程包括经济增长，都类似于抛硬币，它们依赖于“自我复制”。兔子的数量、病毒的数量或者你交易账户中的余额都以“自我复制基础上的噪声乘法方式”增长着，直到达到某个环境的承载能力。（比如你资金小的时候很容易做买进卖出，而你的资金体量很大时，你的买卖行为会直接反映在股票的价格波动中）
其次，绝大多数主流的经济决策理论都是基于“期望值”的概念。 但在“遍历性破坏”存在的系统中，所有的这些理论都应该受到质疑。
最后，经济学和政治学的核心问题是“解决个体与集体之间的矛盾”。这是社会组织、机构、“卢梭的社会契约”等问题。但这个问题似乎总是令人困惑，并且往往会吸引一些天真的回答。因为集体是由个体组成，但为什么个体的利益总是与集体的利益不一致？ 原因之一就是遍历性破坏。从集体出发，仅会考虑单次的决策，而忽视了个体长期持续性的行为。
总之，抛硬币是各种研究的起点：当我们允许玩家保留部分财富，只将其中一部分作为硬币投掷的筹码时，这就带来了凯利赌注和最优杠杆理论；当我们允许玩家合资时，就产生了合作难题遍历性解决方案的研究；或者玩家允许共享他们财富的一部分，导致重新分配几何布朗运动和对财富不平等动态的引人注目观点。
我的分享内容到这里就结束了，在此鼓励你继续进行深入对这个概念的思考，并告诉我们更多有关于这个概念的有趣故事。